La cardinalidad y la ordinalidad

La noción de número en la teoría de Cantor está relacionada con dos características esenciales de los conjuntos: la cardinalidad y la ordinalidad. 

La cardinalidad es una medida del tamaño de un conjunto: un conjunto con tres miembros, por ejemplo, tiene cardinalidad 3. 

La ordinalidad, por su parte, designa cómo se ordena un conjunto. La ordinalidad, por su parte, designa cómo está ordenado un conjunto. Está relacionada con los números ordinales (1º, 1º, 3º...)que especifican la posición de los elementos en el conjunto. La cardinalidad se define formalmente como el conjunto de todos los conjuntos de igual cardinalidad. Es decir, un conjunto que contiene cinco cosas tiene la misma cardinalidad (¡cinco!) que todos los demás conjuntos que contienen cinco cosas. La ordinalidad se define de forma similar. Esto resultaba peligrosamente circular. Dado que ambos conceptos son necesarios para que los matemáticos puedan manipular conjuntos y demostrar teoremas, von Neumann quiso eliminar de sus definiciones toda referencia a "conjuntos de todos los conjuntos", un primer paso para salvar el "paraíso de Cantor"... 

En un lenguaje sencillo pero menos preciso, Von Neumann comienza definiendo el ordinal 'Primero' como el conjunto vacío. Luego define una relación recursiva tal que el siguiente ordinal más alto es el conjunto de todos los ordinales más pequeños, por lo que el "Segundo" es el conjunto que sólo contiene al "Primero", que es el conjunto vacío. El "Tercero" es el conjunto que contiene el "Segundo" y el "Primero", que es a la vez el conjunto que contiene el conjunto vacío y el propio conjunto vacío, el "Cuarto" es el conjunto que contiene los ordinales precedentes: "3º", "2º" y "1º", y así sucesivamente. El proceso es un poco como construir torres sucesivamente más altas y adyacentes con ladrillos de Lego. El "1º" puede ser un solo ladrillo rojo; el "2º", un ladrillo rojo y una torre de dos bloques al lado. El trabajo continúa hasta que se alcanza el ordinal elegido. 

Los números cardinales pueden definirse poniéndolos en correspondencia "uno a uno" con los ordinales, es decir, emparejándolos entre sí: el 0 con el 1 (el conjunto vacío), el 1 con el 2 (que contiene un elemento), el 2 con el 3 (que contiene dos elementos) y así sucesivamente. 

La definición de Von Neumann parece tan sencilla que un no-matemático puede preguntarse por qué se tomó diez páginas para exponer su pensamiento... Una prueba de su éxito es que casi cien años después de la publicación de su artículo, la definición de Von Neumann de los números cardinales y ordinales sigue siendo la definición estándar en matemáticas hoy en día.

 Ananyo Bhattacharya, The Man from the Future, 2021